Un panorama de la théorie des groupes finis. Les groupes sont étudiés à partir du treillis de leurs sous-groupes et un atlas de ces treillis est proposé pour les groupes d'ordre inférieur ou égal à 32. Avec de nombreux exercices corrigés. ©Electre 2025

La théorie des groupes finis est une théorie formidable, qui n'a pas fini de révéler tous ses trésors. Elle fascine le spécialiste comme le débutant et éclaire de ses lumières des territoires aussi variés que l'arithmétique, la géométrie, la cryptographie ou l'imagerie médicale. Qui d'entre nous n'a pas entendu parler du Monstre de Fischer-Griess ou du groupe du cube de Rubik ? Qui n'a pas espéré un jour découvrir le chemin initiatique par excellence pour apprendre les mathématiques correspondant à ces objets, ou plus simplement les choses les plus essentielles en matière de groupes finis ? L'enseignement en faculté, bien que largement supérieur en la matière à celui des classes préparatoires, ne fait au fond qu'effleurer le sujet. À peine survole-t-on en ces lieux les p-Sylow, les suites de Jordan-Hôlder, et une fois sur deux l'on omet de travailler les produits semi-directs.

Certes, Alain Debreil ne parle dans son livre ni du Monstre, ni du cube de Rubik, mais il ne fait l'impasse sur aucun des thèmes fondateurs de la théorie des groupes, et mieux, il en dévoile les arcanes grâce aux treillis des sous-groupes... Des groupes abéliens aux groupes linéaires, en passant par tous les groupes de cardinal < 33, il nous fait faire le tour des choses, nous informant sur le centre, le groupe dérivé, le Frattini, le groupe des automorphismes, etc. Grâce à un travail gargantuesque qui en appelle à l'informatique, à la patience et à un grand souci pédagogique, l'auteur renouvelle l'enseignement du sujet, nous livre une myriade de secrets que les anciens gardaient jalousement dans leurs grimoires, et que les logiciels modernes, malgré leur puissance, n'aident pas à discerner pour autant. Nous disposons ainsi d'un atlas fantastique de treillis enrichis d'informations de première main, de graphes de Cayley dessinés d'une touche de maître, mais aussi d'un nombre considérable d'exercices originaux et d'autres plus classiques, toujours choisis pour leur intérêt et corrigés avec détail et grand soin.

Alain Debreil est ancien élève de l'École Centrale (Paris). Il a effectué l'essentiel de sa carrière comme ingénieur (R&D) chez Bull aux Clayes-sous-Bois. Coauteur du « Groupe symétrique G₄ et ses métamorphoses », et du livre « Formes quadratiques, et géométrie », tous les deux parus chez C&M. II travaille aujourd'hui, avec R. Mneimné, sur une « Introduction aux groupes cristallographiques du plan ».