Une étude de deux complexes de modules sur A, l'algèbre de Steenrod modulo 2, munis d'une action compatible de H*V, la cohomologie modulo 2 de V, complexes tous deux associés à X. Dans cette perspective, sont examinées les relations entre ce travail et celui, d'une part, de Allday, Franz et Puppe, de l'autre, celui de Bob Oliver. ©Electre 2025

Soient V un 2-groupe abélien élémentaire et X un V-CW-complexe fini

Dans ce mémoire nous étudions deux complexes de modules sur A, l'algèbre de Steenrod modulo 2, munis d'une action compatible de H*V, la cohomologie modulo 2 de V, complexes tous deux associés à X. Le premier, que nous appelons le « complexe topologique », est défini à l'aide de la filtration par les orbites de X. Le second, que nous appelons le « complexe algébrique », est défini en termes de la structure de H*V-A-module instable dont est munie H*_VX, la cohomologie modulo 2 équivariante de X (ce qui signifie que nous pouvons remplacer dans cette définition H*_VX par un H*V-A-module instable arbitraire). Ces deux complexes sont de longeur dim_ℤ/2V et peuvent être coaugmentés par H*_VX ; nous construisons en outre un morphisme k du complexe algébrique vers le complexe topologique compatible avec la coaugmentation.

Nous montrons en particulier que ces deux complexes coaugmentés sont acy-cliques si et seulement si H*_VX est libre comme H*V-module. Dans ce cas k est un isomorphisme.

Let V be an elementary abelian 2-group and X be a finite V-CW-complex.

In this memoir we study two cochain complexes of modules over the mod 2 Steenrod algebra A equipped with a compatible action of H*V, the mod 2 cohomology of V, both associated with X. The first, which we call the « topological complex, » is defined using the orbit filtration of X. The second, which we call the « algebraic complex, » is defined in terms of the unstable H*V-A-module structure of H*_VX, the mod 2 equivariant cohomology of X (which means that we can replace, in the definition of the algebraic complex, H*_VX with any unstable H*V-A-module). Both complexes are of length dim_ℤ/2V and can be coaugmented over H*_VX ; furthermore we construct a morphism k from the algebraic complex into the topological complex, compatible with the coaugmentation.

We show in particular that both coaugmented complexes are acyclic if and only if H*_VX is free as an H*V-module. In this case k is an isomorphism.