Introduction à l'étude des objets mathématiques sous le prisme de leur complexité calculatoire, ainsi qu'à trois de ses ramifications principales, la théorie algorithmique de l'aléatoire, les mathématiques à rebours et l'hypercalculabilité. Plusieurs questions philosophiques, notamment sur l'aléatoire et les fondements des mathématiques, sont également abordées. ©Electre 2025

Au début du vingtième siècle, un petit groupe de logiciens et mathématiciens comprend et formalise, plusieurs décennies avant l'apparition des premiers ordinateurs, le concept de calcul et de fonction calculable. Leurs travaux vont constituer une base théorique solide sur laquelle se fondera l'informatique et ses nombreuses ramifications.

C'est toutefois une histoire moins connue, mais issue des mêmes travaux que se proposent de nous raconter les auteurs du présent ouvrage : celle de la calculabilité, discipline qui étudie les objets mathématiques sous le prisme de leur complexité calculatoire, et qui étudie en particulier les objets mathématiques incalculables. Ils réalisent cela via une notion de puissance de calcul, les degrés Turing, lesquels se révèlent d'une richesse surprenante et permettent de mieux comprendre de nombreux aspects des mathématiques générales.

La calculabilité a connu des succès majeurs en servant de fondement mathématique à l'étude de certaines questions à saveur philosophique ; Benoît Monin et Ludovic Patey en approfondissent deux, à travers la théorie algorithmique de l'aléatoire et les mathématiques à rebours. La dernière partie est consacrée quant à elle à une extension de la calculabilité à des modèles dont la puissance dépasse celle des ordinateurs classiques, et qui nous amènera à la frontière avec la théorie des ensembles.

Il s'agit du premier ouvrage en français traitant de ce sujet de manière aussi achevée, à destination des chercheurs, étudiants, mathématiciens ou informaticiens curieux d'en apprendre plus sur les fondements de la théorie du calcul. Les auteurs y présentent de façon très accessible les principaux théorèmes de la calculabilité classique, mais aussi l'état de l'art en maints domaines de la recherche autour des thèmes correspondants. De nombreux exercices corrigés aident à la compréhension tout au long de l'ouvrage, qui a pour vocation à être pour un long moment la référence de la calculabilité en France.