Une présentation des diverses approches de l'équation de Painlevé VI : représentation elliptique, classification des solutions algébriques, symétries du groupe de Weyl affine, étude dynamique par les techniques de théorie de Riemann-Hilbert et géométrie algébrique. Sont aussi étudiés les équations de Painlevé discrètes et d'ordre supérieur et les fondements en théorie de Galois. ©Electre 2025

Dans ce volume, une large place est accordée à diverses approches de l'équation de Painlevé VI : représentation elliptique, classification des solutions algébriques et déformations de « dessins d'enfants », symétries du groupe de Weyl affine, étude dynamique par des techniques de théorie de Riemann-Hilbert et de géométrie algébrique.

Sont aussi étudiées les équations de Painlevé discrètes et des équations d'ordre supérieur incluant la hiérarchie mKdV et sa paire de Lax et une analyse WKB de systèmes de Noumi-Yamada perturbés.

On y trouve enfin des fondements théoriques en théorie de Galois pour les équations différentielles linéaires et non linéaires, les équations aux différences et aux q-différences et des applications aux équations de Painlevé et à l'intégrabilité ou la non intégrabilité de certains systèmes hamiltoniens.

The major part of this volume is devoted to the study of the VI^th Painlevé equation through a variety of approaches, namely elliptic representation, the classification of algebraic solutions and so-called « dessins d'enfants » deformations, affine Weyl group symmetries and dynamics using the techniques of Riemann-Hilbert theory and those of algebraic geometry.

Discrete Painlevé equations and higher order equations including the mKdV hierarchy and its Lax pair and a WKB analysis of perturbed Noumi-Yamada systems are given a place of study, as well as theoretical settings in Galois theory for linear and non-linear differential equations, difference and q-difference equations with applications to Painlevé equations and to integrability or non-integrability of certain Hamiltonian systems.