Les travaux de recherche sur les courbes et les surfaces depuis le XVIIIe siècle. Le document étudie notamment les notions de tangente, de courbure et de longueur d'arc. Une série de concepts à l'origine de la géométrie infinitésimale. ©Electre 2025

Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie

Les recherches les plus anciennes relatives à la géométrie infinitésimale des courbes et surfaces remontent au 18^e siècle. À propos des courbes, apparaissent dès l'origine les notions de tangente, de plan osculateur (d'une courbe gauche), de cercle de courbure, de développée, de longueur d'arc. Quant aux surfaces, ce sont surtout les relations de courbure qui ont fait l'objet de recherches ; ces recherches sont dues à L. Euler et à J.-B. M. Meusnier. Mais la géométrie infinitésimale ne reçut son plein essor qu'à la suite de la publication de l'Application de l'analyse à la géométrie par G. Monge et des Disquisitiones generales circa superficies curvas par C. F. Gauss*.

Dans l'ouvrage de G. Monge il faut mettre en relief les points suivants :

1. La continuation des recherches sur la courbure d'une surface dans le voisinage d'un point quelconque et sur plusieurs questions qui s'y rattachent, en particulier la détermination des surfaces dont les rayons de courbure satisfont à une condition donnée (surfaces minima, surfaces dont l'un des rayons de courbure est constant, etc.).
2. La théorie des enveloppes avec leurs caractéristiques et arêtes de rebroussement ; parmi elles, développables, surfaces-canal, surfaces d'égale pente.
3. L'application de la théorie des surfaces et surtout de la théorie des enveloppes à l'interprétation géométrique des équations aux dérivées partielles du premier ordre à trois variables. G. Monge montre qu'il est parfois plus commode et plus utile, pour la détermination d'une famille de surfaces, d'avoir une équation différentielle que d'avoir une équation en termes finis ; il montre aussi comment on peut non seulement passer de la seconde à la première, mais aussi inversement de la première à la seconde. Ce dernier passage équivaut à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles donnée.

G. Fano et S. Carrus, Exposé parallèle du développement de la géométrie synthétique et de la géométrie analytique pendant le 19^e siècle.

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, t. III, vol. 1, art. III-3 *.